Question

a2+2b2=6,求a+b的最小值，用基本不等式求解

Answer 1

楼上自相矛盾，题都没看清楚。。。
我们所知的基本不等式只有对于正数才有效
所以(x+y+z)/3<=根号[(x^2+y^2+z^2)/3]
此题若a,b>0,显然最小值是正数，可以轻易的改成-a,-b也满足条件，而最小值是负的，显然更小。
而且肯定比a,-b, b,-a 要小(a,b是正数时，-a-b<-a+b,-a-b<a-b)
所以我们所需要的a,b都是<0的
将-a/2,-a/2,-b>0代入基本不等式
(-a/2-a/2-b)/3<=根号[((a/2)^2+(a/2)^2+b^2)/3]
(a+b)/3>=-根号[(a^2+2b^2)/6]=-1
a+b>=-3
等号满足时有a/2=a/2=b
即a=2b,b=-1,a=-2
a+b最小值为-3

Answer 2

你好！
“数学之美”团员448755083为你解答！

a² + b² = 6
∵(a - b)² ≥ 0 → a² - 2ab + b² ≥ 0 → a² + 2ab + b² ≥ 4ab → (a + b)² ≥ 4ab
∴ (a + b)² + 12 ≥ 4ab + 2(a² + b²) = 2(a + b)²
∴(a + b)² ≤ 6 → -√6 ≤ a + b ≤ +√6

若用三角代换可得
a = √6sinα
b = √6cosα
a + b = √6(sinα + cosα) = 2√3sin(α+0.25π) ≥ -2√3

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