Question

一道几何题，可能用到梅内劳斯定理

设在圆内接△ABC中，H是△ABC的垂心，分别作H点关于边BC，CA，AB的对称点H1，H2，H3，若P是圆周上任意一点，连接PH1，PH2，PH3分别与边BC，CA，AB或其延长线交于D,E,F.证：D,E,F三点共线.

Answer 1

先证H1、H2、H3在外接圆上，以H1为例：
因为H1是H关于BC的对称点，
所以角BH1C=角BHC=180-(90-角B)-(90-角C)=角B+角C=180-角A.
所以ABH1C四点共圆。
H2、H3同理可证。
再证DEFH四点共线，以EHF为例：
由对称性知：角FHA=角FH3A.
而角FH3A=角PH3A.
同理：角EHA=角EH2A=角PH2A.
因为角PH3A+角PH2A=180.
所以角FHA+角EHA=180.
所以EHF共线。
同理可证DEH共线。
所以DEF共线。

Answer 2