Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；

（2）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；

（3）画出图形，根据图形进行讨论

 

 

解答

（1）在Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，

 ∴BC=10

∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．

∴△BHD∽△BAC，

∴DH/AC=BD/BC

∴DH=BD/BC=12/5

（2）

∵QR∥AB，

∴∠QRC=∠A=90度．

∵∠C=∠C，

∴△RQC∽△ABC，

∴RQ/AB=QC/BC

∴y/6=(10-x)/10

即y关于x的函数关系式为：y=-3x/5+6

   

（3）存在，分三种情况：

①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM

∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，

∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC=8/10=4/5

∴QM/QP=4/5

∴{1/2(-3x/5 +6)}/（12/5）=4/5

∴x=18/5

②当PQ=RQ时，-3/5x+6=12/5

∴x=6

③做EM⊥BC，RN⊥EM，

∴EM∥PQ，

当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，

∴EN=MN，

∴ER=RC，

∴点R为EC的中点，

∴CR=CE/2=AC/4=2

∴tanCQR/CR=BA/CA

∴(-3x/5+6)2=6/8

∴x=15/2

综上所述当x为18/5,6,15/2时△PQR为等腰三角形。

 

希望对你有帮助昂 

Answer 2