Question

如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q

请问PQ与BP有何数量关系？并说明理由。

Answer 1

PQ=1/2BP,,理由如下：
证明：∵⊿ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠C,AC=AB
∵AE=CD
∴⊿ABE≌⊿ACD
∴∠CAD=∠ABE
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠CAB=60º
∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30º
∴PQ=1／2BP

Answer 2

(1):：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．

又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD，BE=AD（全等三角形的对应角，对应边相等）

∵∠BPQ是△ABP的外角

∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，

∵PQ⊥BQ

∴∠PBQ=30°．

又∵BQ⊥PQ，∴PB=2PQ

(2):
∵⊿ABE≌⊿ACD
∠AEB=∠ADC
∠AEB＋∠BEC=180º
∠ADC＋∠ADB=180º
∴∠BEC=∠ADB
∠C=∠ABD=60º
∴∠BAD=180º－∠ABD-∠ADB
∠CBE=180º－∠C-∠BEC
∴∠BAD=∠CBE
AB=BC,AQ⊥BQ,BP⊥PC
∴⊿ABQ≌⊿BPC﹙A.A.S)
∴BP=AQ=AP＋PQ
∵BP≡2PQ
∴AP／PQ=1