Question

对于任意x∈R,不等式2x²-a√(x²+1)+3>0恒成立求a的取值范围

Answer 1

设√(x²+1)=y，则x²+1=y²
　　原式变换为：2x²-a√(x²+1)+3=2y²-2-ay+3=2y²-ay+1>0
　　运用判别式小于0，即a²-8<0
　　可得出：-2√2<a<2√2

Answer 2

可以将不等式改写为2x²+3>a√(x²+1)。
因为x∈R，所以x²+1>0，2x²+3>0，故有a<(2x²+3)/√(x²+1)，
即a<2√(x²+1)+1/√(x²+1)；
为简便，令y=√(x²+1)，（显然，y≧1）；
则a<2y+1/y——①
将①式中右端两项看作两个正实数，由两数算术平均数与几何平均数的关系，可得：
2y+1/y≧2*√((2y)*(1/y))＝2*√2，
只有当两项数相等，即 2y＝1/y时，上式中等号才成立，此时y＝1/√2；y偏离此数值越大，则两项数的算术平均数超过2*√2偏差越大；
从x→y代换式已得知，y≧1,将最小值y=1（对应x=0）代入①式可得：
a<2y+1/y≦2*1+1/1=3
只有a<3，题给不等式才恒成立。

Answer 3

此题可用换元法。
解：设√(x²+1)=y，则x²+1=y²
　　原式变换为：2x²-a√(x²+1)+3=2y²-2-ay+3=2y²-ay+1>0
　　运用判别式小于0，即a²-8<0
　　可得出：-2√2<a<2√2