急急急求答案
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(1)
f(x)在(-2,1)内单调递减,在[1,+∞)上单调递增。
所以x=1是f(x)的极值点,所以f(x)的导数当x=1时为0。
f(x)的导数为
f'(x)=3 a x^2+ (sin θ)x-2
所以f'(1)=0
f'(1)=3 a+ (sin θ)-2
得到 a=(2-sin θ)/3
故f'(x)=(2-sin θ) x^2+ (sin θ)x-2
因为f(x)在(-2,1)内单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
方程f'(x)=0的另一个根一定小于等于-2
(2-sin θ) x^2+ (sin θ)x-2=0
得到x=1 或者 x=2/(sin θ-2)
所以-2/(sin θ-2)<=-2 (<= 表示小于等于)
所以sin θ-2>=-1
sin θ>=1
sin θ不能大于1,所以sin θ=1.
所以a=1/3
sin θ=1
所以 f(x)=1/3 x^3+1/2 x^2-2x+c
因为f(x)过点(1,37/6),所以f(1)=37/6
1/3 +1/2-2+c=37/6
c=37/6-1/3-1/2+2=22/3
所以 f(x)=1/3 x^3+1/2 x^2-2x+22/3
f(x)在(-2,1)内单调递减,在[1,+∞)上单调递增。
所以x=1是f(x)的极值点,所以f(x)的导数当x=1时为0。
f(x)的导数为
f'(x)=3 a x^2+ (sin θ)x-2
所以f'(1)=0
f'(1)=3 a+ (sin θ)-2
得到 a=(2-sin θ)/3
故f'(x)=(2-sin θ) x^2+ (sin θ)x-2
因为f(x)在(-2,1)内单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
方程f'(x)=0的另一个根一定小于等于-2
(2-sin θ) x^2+ (sin θ)x-2=0
得到x=1 或者 x=2/(sin θ-2)
所以-2/(sin θ-2)<=-2 (<= 表示小于等于)
所以sin θ-2>=-1
sin θ>=1
sin θ不能大于1,所以sin θ=1.
所以a=1/3
sin θ=1
所以 f(x)=1/3 x^3+1/2 x^2-2x+c
因为f(x)过点(1,37/6),所以f(1)=37/6
1/3 +1/2-2+c=37/6
c=37/6-1/3-1/2+2=22/3
所以 f(x)=1/3 x^3+1/2 x^2-2x+22/3
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