Question

已知函数f(x)满足:f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y).则f(2010)=?(x,y属于R）

Answer 1

追问

那是怎么想到这么做的

追答

通过函数的性质 对称性与函数的特征在变化 就行

追问

看到这道题，是怎么想到这样做的

追答

等一下告诉你

判断两个变量的函数性质问题 需要使其中一个变量消失 恰当的赋值是解决这类问题的常用方法

请采纳

Answer 2

令x=1 y=0 4f(1)f(0)=f(1)+f(1) 4f(0)=2 f(0)=1/2
x=y=1 4f(1)f(1)=f(2)+f(0) f(2)=-1/4
x=y=2 4f(2)f(2)=f(4)+f(0) f(4)=-1/4
x=4 y=2 4f(4)f(2)=f(6)+f(2) f(6)=1/2
x=y=4 4f(4)f(4)=f(8)+f(0) f(8)=-1/4
x=6 y=4 4f(6)f(4)=f(10)+f(2) f(10)=-1/4
x=y=6 4f(6)f(6)=f(12)+f(0) f(12)=1/2
所以
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 ……
1/2 -1/4 -1/4 1/2 -1/4 -1/4 1/2 -1/4 -1/4 1/2 -1/4 -1/4 ……
0 12 18 24 ……
x是6的倍数，则f(x)=1/2
2010=6*335
所以f(2010)=1/2

追问

这种方法太复杂了，并且看到这题是怎么想到从这个角度考虑的

追答

这里写得比较多，在实际操作中，可以写一部分找出规律即可

是怎么想到从这个角度考虑的
这是抽象函数的一类题型，一般都是赋值，本题找出偶数的值，就看出规律

Answer 3

解：
令x=1 y=0
4f(1)f(0)=f(1+0)+f(1-0)
4f(1)f(0)=2f(1)
f(0)=1/2
令x=2010 y=0
4f(2010)f(0)=f(2010+0)+f(2010-0)
(1/2)f(2010)=2f(2010)
(3/2)f(2010)=0
f(2010)=0