Question

过定点(-2,-4)作倾斜角为45°的直线l交抛物线y2=2px与B,C两点,当AB BC AC成等比数列时，1求抛物线的方程

（2）在1中抛物线上是否存在点D使得DB=BC成立，若存在，求出点D坐标，若不存在，说明理由

Answer 1

过定点A(-2,-4)作倾斜角为45°的直线l:x=y+2,①
与抛物线y^2=2px②交于B,C两点，
把①代入②，y^2-2py-4p=0,
设B(x1,y1),C(x2,y2),则
y1+y2=2p,y1y2=-4p,
AB ,BC, AC成等比数列,
<==>(y2-y1)^2=(y1+4)(y2+4),
<==>(y1+y2)^2=5y1y2+4(y1+y2)+16,
<==>4p^2=-20p+8p+16,
<==>p^2+3p-4=0,
<==>p=1,或-4.
1.抛物线的方程为y^2=2x或y^2=-8x.
2.（i){x=y+2,
.........{y^2=2x,
解得（x，y)=(3+√5,1+√5）或（3-√5,1-√5），为B,C的坐标。
设D(2t^2,2t),由DB=BC得
[2t^2-(3+√5)]^2+[2t-(1+√5）]^2=40,
4t^4-4(3+√5）t^2+14+6√5+4t^2-4(1+√5）t+6+2√5=40，
4t^4-(8+4√5)t^2-(4+4√5)t+8√5-20=0，?

追问

最后这里看不懂啊，好像还没算完啊，请补充一下，谢谢

追答

4t^4-(8+4√5)t^2-(4+4√5)t+8√5-20=0是4次方程，超出中学数学范围。
请检查题目。

追问

请你再帮我解一题题目 已知直线l的参数方程为x=√3+1/2t,y=2+√3/2t(t为参数）曲线C的参数方程为x=4cosx,y=4sinx(x为参数）（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，（2）如果直线l与曲线c交于A,B两点，求线段AB的长

追答

（1）x^2+y^2=16.①
(2)把x=√3+1/2t,y=2+√3/2t代入①，得
t^2+3√3t-9=0,
△=27+36=63，
设交点A,B分别对应于t1,t2,则
AB=|t1-t2|=√△=3√7.

Answer 2

最后一步可以做BC的中垂线，因为与BC垂直，BC斜率为1，所以中垂线斜率为负1，用韦达定理求出BC中点坐标，则可得中垂线方程，与抛物线方程联立即得答案