Question

已知圆c过点p(1,1),且与圆M(x+2)²+（y+2)²=r²(r＞0)关于直线x+y+2=0对称

1.求圆c的方程
2.设Q为圆C上的一个动点,求向量PQ*向量MQ的最小值

Answer 1

1. 两圆对称，则半径相同(=r)
M(-2, -2)
直线x+y+2=0, y = -x - 2的斜率为-1, MC的斜率为1
MC的方程: y + 2 = 1(x + 2), y = x
两直线的交点为A(-1, -1)
A为的MC中点, 设C(a, b):
-1 = (a -2)/2, a = 0
-1 = (b -2)/2, b = 0
圆C的方程: x² + y²= r²
代入P(1, 1), r² = 2
圆C的方程: x² + y²= 2

2. Q(m,n)
m² + n² =2
PQ = (m-1, n-1)
MQ = (m+2, n+2)
向量PQ*向量MQ = (m-1)(m+2) + (n-1)(n+2)
= m² + n² + m + n -4
= 2 + m + n - 4
= m + n -2
= m -√(2-m²) -2 (n= √(2-m²)时, 向量PQ*向量MQ较大)
易知m = -√(2-m²) = -1时, 向量PQ*向量MQ最小, 为-4