Question

球的表面积转换成椭圆面积求得的结果不同

假设用无数条细密的毛线将球体表面完全缠绕覆盖(线与线之间不重合不交叉),设球半径为r,则用球表面积公式求得结果为4派r^2,将球表面毛线沿半个圆周剪断则可以铺成一个半长轴为派r,半短轴为r,这样得出的球体表面积是派^2*r^2,与前面的结果有差距,请问究竟哪里错了,为什么两种方法却不能有一个统一的结果?请高手指教
你是数学老师吗?

Answer 1

这种想法是很不错的，关键在于剪断重铺是线与线出现了“间隙”。

不妨我们换种缠绕方式，以经线为模版，密铺，沿赤道剪开。两级为两个圆心展开得到两个圆，半径均为pi*r/2,总面积为2*pi*(pi*r/2)^2,即pi^3 *r^2 / 2，依旧不是4*pi*r^2。

在重新组合的过程打破了原来需要以曲面维持的紧性，三维到二维平面，是有本质的差别的。

这也是画出的平面地图总是有误差的原因。 

 

关于球表面及的计算，利用层层叠加的思想：

 

 

最后，的确点与点是一一对应的，但其密集程度不一样，暂时无法用其它方式计算出差值。

沿你假设中的短半轴方向，不同位置的线的密度即堆积程度不同，也就是出现了重叠。

在我的假设中，沿圆周处处有间隙，却又处处有点，但算法使得点有了大小，并且不同地方的放大程度还不一样，这样就出现了谬论。

实际上这个差值，是积分的总体结果，如果考虑上每一处的不同，这又回到了直接计算球表面积上，公式已经给出。