Question

是否存在一个在（0，正无穷）内有定义的上凸函数f(x)，使得对于任意正整数n，都有f(n)是正整数

是否存在一个在（0，正无穷）内有定义的上凸函数f(x)，使得对于任意正整数n，都有f(n)是正整数
。。。上凸也可以是递增的啊，比如lnx。。。

Answer 1

可以令f(1)是整数、f(2)-f(1)=a是整数, f(3)-f(2)<=a-1, f(4)-f(3)<=a-2........
现在取f(2)=a+f(1)
f(3)=a-1+f(2)
....................
f(n+2)=a-n+f(n+1)
.............................
得到一个函数的所有整点值，用“凸曲线”拟合这些点成为连续曲线，应该就是“凸的函数”
将上述式子相加，两边抵消相同项：
f(n+2)=a+(a-1)+.......+(a-n)+f(1)=(2a-n)(n+1)/2+f(1)
取x=n+2
f(x)=(2a+2-x)(x-1)/2 +f(1)
显然这个函数是凸的，且整点都是整数。

由此可以想象f(x)=x(1-x)也满足要求，且式中1换成任意奇数、x前任意加奇数系数，均满足要求。

20年了，没有想到还能想出点东东，赞自己一个先。

追问

正整数啊亲~~正整数~~

追答

可以令f(1)是整数、f(2)-f(1)=a是正整数, f(3)-f(2)<=a-1, f(4)-f(3)<=a-2........
现在取f(2)=a+f(1)
f(3)<=a-1+f(2)
....................
f(n+2)<=a-n+f(n+1)
.............................
f(n+2)<=f(1)+a+a-1+a-2+....+a-n=f(1)+(2a-n)(n+1)/2，显然n足够大时，f(n)必然为负
因此不存在这种函数