Question

微积分幂级数问题，如图题6，求解答过程。

Answer 1

要展开f(x)，题目又不加以说明，可以默认为在x=0处展开
f(x)=x/(1+x-2x^2)=(1/3)*[1/(1-x)-1/(2x+1)]
而1/(1-x)=∑(n=0,+∞)x^n，x∈(-1,1)
1/(1+2x)=∑(n=0,+∞)(-2x)^n，x∈(-1/2,1/2)
因此，f(x)=(1/3)*[∑(n=0,+∞)x^n-∑(n=0,+∞)(-2x)^n]
=(1/3)*∑(1-(-2)^n)x^n，x∈(-1/2,1/2)
有不懂欢迎追问

追问

求出幂级数会，请问收敛区间怎么求出来的？

追答

可以用初等函数的Taylor展开式，可以直接得到，如果记得的话（其实都是由下面的方法推出）
其实还可以用求幂函数的收敛区间的比值法或这根值法来求：
因为级数的形式已经求出来了，要求收敛区间
有公式：n趋于无穷
lim |an+1/an|=1/R
lim n^√|an|=1/R
再讨论端点的敛散性即可
有不懂欢迎追问

Answer 2

按照有理函数不定积分的部分分解的做法，把f(x)分解为1/3×1/(1-x)-1/3×1/(1+2x)，接下来套用1/(1-x)，1/(1+x)的展开式，有
1/(1-x)=∑x^n，-1＜x＜1
1/(1+2x)=∑(-2)^n×x^n，-1/2＜x＜1/2
所以f(x)=∑[1/3-1/3*(-2)^n]x^n，-1/2＜x＜1/2

Answer 3

详解如下： x的收敛区间为：（-1/2,1/2）

追问

没有详解只有答案？