Question

空间几何

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD是直角梯形,其中AB⊥AD，AB=BC=1，且AD=根号2AA1=2
（1）求证直线C1D垂直面ACD1
(2)试求三棱锥A1-ACD1的体积

Answer 1

（1）∵ABCD是直角梯形，且AB＝BC＝1，∴△ABC是等腰⊿，AC＝√2AB＝√2，∠BAC＝∠ACB＝∠CAD＝45°，
再由AD＝2，可求得CD＝√((AD-BC)^2+AB^2)=√((2-1)^2+1^2)＝√2，
∴△ACD也是等腰⊿，故∠ACD＝90°，即AC⊥CD，
又，对直棱柱有 AC⊥CC1；∴ AC与平面上两条相交直线CD和CC1都垂直，
∴AC⊥平面C-D-C1，∴AC⊥C1D；

∵CC1＝AA1＝DD1＝√2，前已求得CD＝√2，∴C-D-D1-C1为正方形，其对角线互相垂直，亦即 CD1⊥C1D，

由上可知C1D与A-C-D1平面上两条相交直线AC和CD都垂直，∴C1D⊥平面A-C-D1

（2）三棱锥A1-ACD1的体积＝三棱锥C-A1AD1的体积
⊿A1AD1的面积 S＝AA1*A1D1/2＝√2*AD/2＝√2*2/2=√2，
C到平面A1-A-D1的距离等于C到AD的距离（从C向AD所作垂线既⊥AD或A1D1，又⊥AA1）：H＝AB＝1，
∴三棱锥A1-ACD1的体积=S*H/3=√2*1/3=√2/3