Question

一道数学分析题目，怎么做啊

接着怎么做？

Answer 1

不妨假设a>1。则f(x)在[a,oo)上必须取非负值。否则，当x趋于无穷时，x*f(x)有一个小于0的极限，于是存在B，使得当x>B时，f(x)<=C/x，C<0。这样，反常积分会发散：

int_B^oo f(x) dx <= int_B^oo C/x dx

那么，根据柯西准则，对任何c>0，存在X，使得当x>X时，

0 <= int_(sqrt(x))^x f(t) dt < c/2

而注意到当sqrt(x)<=t<=x时，t*f(t)>=x*f(x)>=0（单调性），所以

int_(sqrt(x))^x f(t) dt
=int_(sqrt(x))^x t*f(t) (dt/t)
>=int_(sqrt(x))^x x*f(x) (dt/t)
=x*f(x)*(1/2)*ln(x)

即，对任何c，存在X，当x>X时，

0<=x*f(x)*ln(x)<c

由定义，该极限为0

（裴礼文OTZ）

Answer 2

不妨假设a>1。则f(x)在[a,oo)上必须取非负值。否则，当x趋于无穷时，x*f(x)有一个小于0的极限，于是存在B，使得当x>B时，f(x)<=C/x，C<0。这样，反常积分会发散：

int_B^oo f(x) dx <= int_B^oo C/x dx

那么，根据柯西准则，对任何c>0，存在X，使得当x>X时，

0 <= int_(sqrt(x))^x f(t) dt < c/2

而注意到当sqrt(x)<=t<=x时，t*f(t)>=x*f(x)>=0（单调性），所以

int_(sqrt(x))^x f(t) dt
=int_(sqrt(x))^x t*f(t) (dt/t)
>=int_(sqrt(x))^x x*f(x) (dt/t)
=x*f(x)*(1/2)*ln(x)

即，对任何c，存在X，当x>X时，

0<=x*f(x)*ln(x)<c

由定义，该极限为0