Question

从自然数1，2，3，4，…，99，100中，任意取出51个数，求证其中一定有两个数，它们中的某一个数是另一个数

的倍数。

Answer 1

本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个
的整数倍。我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只
有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本
知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2 的方幂的积，即若m∈N+,K∈N+，n∈N,则
m=(2k-1)·2n，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×2^1，3=3×2°，……
证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2 的方幂，并且这种表示方法是唯一的，
所以我们可把1-100 的正整数分成如下50 个抽屉（因为1-100 中共有50 个奇数）：
（1）{1，1×2，1×2^2，1×2^3，1×2^4，1×2^5，1×2^6}；
（2）{3，3×2，3×2^2，3×2^3，3×2^4，3×2^5}；
（3）{5，5×2，5×2^2，5×2^3，5×2^4}；
（4）{7，7×2，7×2^2，7×2^3}；
（5）{9，9×2，9×2^2，9×2^3}；
（6）{11，11×2，11×2^2，11×2^3}；
……
（25）{49，49×2}；
（26）{51}；
……
（50）{99}。
这样，1-100 的正整数就无重复，无遗漏地放进这50 个抽屉内了。从这100 个数中任取51
个数，也即从这50 个抽屉内任取51 个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽
屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25 个抽屉中的任何同一个抽屉内的两
个数中，一个是另一个的整数倍。
说明：
（1）从上面的证明中可以看出，本题能够推广到一般情形：从1-2n 的自然数中，任意取出
n+1 个数，则其中必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。想一想，为什么？因为1-2n
中共含1，3，…，2n-1 这n 个奇数，因此可以制造n 个抽屉，而n+1＞n，由抽屉原则，结论就
是必然的了。给n 以具体值，就可以构造出不同的题目。例2 中的n 取值是50，还可以编制相
反的题目，如：“从前30 个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式地）取出几个数，才能保
证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小的数的倍数？”

Answer 2

设选出的51个数依次是：a1、a2、a3、a4、······、a51。
显然，每一个自然数都能表示成（2^x）y的形式，其中x为自然数，y是奇数。
依次将a1、a2、a3、a4、······、a51都写成这种形式，得这51个数依次是：
（2^x1）y1、（2^x2）y2、（2^x3）y3、（2^x4）y4、······、（2^x51）y51。

在1－100这100个自然数中，只有50个奇数，
∴在y1、y2、y3、y4、······、y51中，一定有两个是相同的。
不失一般性地设y1＝y2，且x1＞x2，则：x1－x2为整数，得：
［（2^x1）y1］÷［（2^x2）y2］＝2^（x1－x2）＝整数，∴（2^x1）y1是（2^x2）y2的倍数。
∴a1是a2的倍数。
∴在1－100这100个自然数中任意取出51个，一定有一个数是另一个数的倍数。

Answer 3

因为1~99中只有50个奇数
任意取出51个数中必有一个是偶数
这个偶数必定是一个奇数的倍数

Answer 4

你们，好

Answer 5

证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2 的方幂，并且这种表示方法是唯一的，
所以我们可把1-100 的正整数分成如下50 个抽屉（因为1-100 中共有50 个奇数）：
（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；
（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；
（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；
（4）{7，7×2，7×22，7×23}；
（5）{9，9×2，9×22，9×23}；
（6）{11，11×2，11×22，11×23}；
……
（25）{49，49×2}；
（26）{51}；
……
（50）{99}。
这样，1-100 的正整数就无重复，无遗漏地放进这50 个抽屉内了。从这100 个数中任取51
个数，也即从这50 个抽屉内任取51 个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽
屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25 个抽屉中的任何同一个抽屉内的两
个数中，一个是另一个的整数倍。