Question

如图，谢谢。

Answer 1

f(x,y)=x²+2y²-x²y²
先考虑驻点：
az/ax=2x-2xy²=0,
az/ay=4y-2x²y=0,
驻点是（0,0）,(±√2，±1)
f(0,0）=0.
f(±√2，±1)=2+2-2=2
再考虑边界x²+y²=4.用拉格朗日乘数法.
令F=z+c(x²+y²-4),
aF/ax=2x-2xy²+2cx=0；
2x(1-y²+c)=0
aF/ay=4y-2x²y+2cy=0；
2y(2-x²+c)=0
当x=0时，y=0，f(x,y)=0
或者y≠0，根据区域得y²≤4，此时f(x,y)=2y²，最大值为8，最小值为0
当y=0时，x=0，f(x,y)=0
或者x≠0，x²≤4，此时f(x,y)=x²，最大值为4，最小值为0
当x，y都不等于0时得3-4+2c=0
c=1/2
x²=5/2，y²=3/2
此时f(x,y)=5/2+6/2-15/4=7/4
综上，最大值为8，最小值为0

追问

这个，最大值为8是怎么算出来的，x y分别是多少？

追答

x=0，y=2

追问

利用x跟y的偏导，我求了好几个点，然后0，2 没求到，是我疏忽了什么么

追答

因为你拉格朗日乘数后没考虑x=0，y=0的情况

你两个直接取分式，就默认了x，y≠0，

追问

嗯嗯，最后一个问题，我是按照书上的格式写的，书上的这道题也没有考虑拉格朗日 x y为0的情况，为什么

追答

这是同一个题目吗？

追问

不是，可是这道题没有考虑＝0的时候，我不懂

追答

因为它没有公因式x或者y呀

你那个题目它求导是有公因式的啊

书上这个没有公因数，不需要考虑啊

追问

对不起 我刚学这个，不太懂，能不能再问问你，公因式在哪里😂

追答

aF/ax=2x-2xy²+2cx=0；
2x(1-y²+c)=0
aF/ay=4y-2x²y+2cy=0；
2y(2-x²+c)=0

2x和2y是不是公因数啊

这是初中知识吧

追问

额 哦哦哦

蠢到极点