当n趋于无限大时a的n次方除以n的阶乘的极限怎么求

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数码宝贝7Q
2021-08-18 · TA获得超过5444个赞
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当a属于[-1,1],a^n趋于0或等于1,因此lima^n/n!=0

当a不属于[-1,1],直接算不方便,用Stirling近似公式,当n趋于无穷,n!=(n/e)^n*√(2*π*n),其中π是圆周率,e是自然对数的底数。

lim a^n/n!= lim a^n/[(n/e)^n*√(2*π*n)],可以看到,e和a是常数,lim(ea/n)^n*[1/√(2*π*n)],当n趋于无穷大,(ea/n)^n和1/√(2*π*n)都趋于0。

综上故lim a^n/n!= 0。

拓展与再定义

一直以来,由于阶乘定义的不科学,导致以后的阶乘拓展以后存在一些理解上得困扰,和数理逻辑的不顺。阶乘从正整数一直拓展到复数。传统的定义不明朗。所以必须科学再定义它的概念。

真正严谨的阶乘定义应该为:对于数n,所有绝对值小于或等于n的同余数之积。称之为n的阶乘,即n!

对于复数应该是指所有模n小于或等于│n│的同余数之积。。。对于任意实数n的规范表达式为:正数 n=m+x,m为其正数部,x为其小数部,负数n=-m-x,-m为其正数部,-x为其小数部。

jdc9217
2016-12-23
jdc9217
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高中数学教师,一直在教务处负责中高考事务,熟悉中、高考有关问题。

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极限为零。证明如下:

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iceandywater
2010-08-25 · TA获得超过2568个赞
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极限是0.
(a)n/n!可以看成是a/1 * a/2 *……*a/n.
而当n->∞时,不管a的绝对值多大,总有一个m使得m>|a|,此时从a/m开始,后面每一项的绝对值都小于1,所以n越大,这个值就越小。最后趋向于0.
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诗残莫续e490a00
2010-08-26 · TA获得超过1256个赞
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直接证明不能这么两句话就算了。

当a属于[-1,1],a^n趋于0或等于1,因此lima^n/n!=0

当a不属于[-1,1],直接算不方便,用Stirling近似公式,当n趋于无穷,n!=(n/e)^n*√(2*π*n),其中π是圆周率,e是自然对数的底数。
lim a^n/n!= lim a^n/[(n/e)^n*√(2*π*n)]

可以看到,e和a是常数,lim(ea/n)^n*[1/√(2*π*n)]
,当n趋于无穷大,(ea/n)^n和1/√(2*π*n)都趋于0。

综上故lim a^n/n!= 0
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百度网友8d8acae
2010-08-25 · TA获得超过6503个赞
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bn=a^n/n!
limb(n+1)/bn=a/(n+1)=0
∑bn 收敛
limbn=lima^n/n!=0
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