Question

函数f(x)=丨x-1丨+丨x-2丨

1.求函数f(x)=丨x-1丨+丨x-2丨最小值，并指出取最小值时x的取值范围
2.已知不等式丨x-2丨+丨x-5丨≥2m+1对x∈R都成立，求实数m取值范围
3.若存在实数x，使不等式丨x-3丨-丨x+1丨≤a成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1.方法一函数图象法 ，自己画图
方法二：丨x-1丨的几何意义是数轴上一点x到点1的距离，丨x-2丨的几何意义是数轴上一点x到点2的距离， 显然当点x在1和2之间即1≤x≤2时有最小值1，此1即为1和2之间距离。
2.实质也是求不等式左边的最小值，根据几何意义显然左边的最小值是3（2和5之间距离），所以原题等价于3≥2m+1 所以m≤1
3.当x≥3时，原式＝x-3-x-1=-4
当-1≤x≤3时原式=-2x+2 范围为-4到4
当x≤-1时原式＝4 所以原式的最小值是-4， 所以a≥-4

Answer 2

分类讨论
1、在数轴上去1与2两点，进行讨论
当x=1时，f(x)=1
当x<1时，f(x)>1
当x=2时，f(x)=1
当x>2时，f(x)>1
当1<x<2时，f(x)恒等于1
综合得f(x)>=1 所以最小值是1

Answer 3

由绝对值的几何意义就容易做了
1）x到1和到2的距离之和最小是1(这时x在1和2之间)
2)x到2和到5的距离之和最小是3,故2m+1<=3,即m<=1
3)注意这题跟上题不一样，这里是只要存在实数x使不等式成立即可
x到3和到-1的距离之差的范围是[-4,4],故a>=-4