1+X4次方括号分之一的积分怎么算
计算过程如下:
∫ 1/(x⁴+1) dx
=(1/2)∫ [(1+x²)+(1-x²)]/(x⁴+1) dx
=(1/2)∫ (1+x²)/(x⁴+1) dx + (1/2)∫ (1-x²)/(x⁴+1) dx。
分子分母同除以x²,得:
=(1/2)∫ (1/x²+1)/(x²+1/x²) dx + (1/2)∫ (1/x²-1)/(x²+1/x²) dx。
将分子放到微分符号后,得:
=(1/2)∫ 1/(x²+1/x²) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(x²+1/x²) d(x+1/x)
=(1/2)∫ 1/(x²+1/x²-2+2) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(x²+1/x²+2-2) d(x+1/x)
=(1/2)∫ 1/[(x-1/x)²+2] d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-2] d(x+1/x)
=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] - (√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + C。(以上C为常数)
扩展资料:
不定积分求法:
1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。
2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
(1)第一类换元法(即凑微分法)。通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
(2)第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。
3、分部积分法。设函数和u,v具有连续导数,则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu
两边积分,得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。
参考资料来源:百度百科-不定积分
=(1/2)∫ [(1+x²)+(1-x²)]/(x⁴+1) dx
=(1/2)∫ (1+x²)/(x⁴+1) dx + (1/2)∫ (1-x²)/(x⁴+1) dx
分子分母同除以x²
=(1/2)∫ (1/x²+1)/(x²+1/x²) dx + (1/2)∫ (1/x²-1)/(x²+1/x²) dx
将分子放到微分符号后
=(1/2)∫ 1/(x²+1/x²) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(x²+1/x²) d(x+1/x)
=(1/2)∫ 1/(x²+1/x²-2+2) d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/(x²+1/x²+2-2) d(x+1/x)
=(1/2)∫ 1/[(x-1/x)²+2] d(x-1/x) - (1/2)∫ 1/[(x+1/x)²-2] d(x+1/x)
=(√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] - (√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + C