Question

设函数f(x)=丨2x+1丨-丨x-4丨

1.解不等式f(x)＞2
2.求函数y=f（x）的最小值
3.求f(x)的值域
4.若关于x的不等式f(x)≥a^2-3a-7在【0，5】恒成立，求a的范围

Answer 1

1.当X≥4时2X+1＞0与X-4≥0 此时f(x)=丨2x+1丨-丨x-4丨=X+5 f(x)＞2即X+5＞2得X ＞-3 再与 X≥4 求交集得到X≥4
当X≦-1/2时2X+1≦0与X-4＜0 此时f(x)=丨2x+1丨-丨x-4丨=-（2x+1）-（-（x-4））=-X-5
f(x)＞2 即-X-5＞2此时得出x＜-7 再与X≦-1/2求交集得出x＜-7
当-1/2＜X＜4时 f(x)=丨2x+1丨-丨x-4丨=2x+1-（-（x-4））=3x-3 ＞2得 x＞5/3 求交集得
5/3＜x ＜4
然后再求并集得到
x＜-7与X＞5/3
时f(x)＞2
2 当X≥4时 f(x)=X+5≥9 此时最小值为9
当X≦-1/2时f(x)=-X-5 此时最小值为-4.5
-1/2＜X＜4时f(x)=3x-3 单调递增只有当X为-0.5时最小值为-4.5
（像我这样分区间把图形化出来一眼就看出来了）
得最小值为-4.5
3如2上把图形化出来可得值域为 [-4.5， +∞]
4当X在【0，4】时f(x)=3x-3≥a^2-3a-7得到a^2-3a-7-3X+3≦0即-3x+a^2-3a-4≦0
设g(x)=-3x+a^2-3a-4 g(x)为单调递减函数，g(x)≦0恒成立，g(x)最大值≦0
即X=0时，g(x)最大。即g(x)max=a^2-3a-4≦0 得到-1≦a≦4

当X在【4，5】时f(x)=X+5≥a^2-3a-7得到a^2-3a-7-X-5≦0即a^2-3a-12-x≦0恒成立
（同上）即当X=4时最大 即得a^2-3a-16≦0，（这个算的有根号，打不出来就算了。你可以自己算下，取2值之间范围就行）
然后取上面2种情况的并集就是所要得到的a的范围。
十年都没碰数学题，今天试试看能不能做出来。嘿嘿。可惜这不能画图，不能有图更方便理解。累死我了。

Answer 2

f(x)={x+5 x>4
{3x-3 -1/2≤x≤4
{-x-5 x<-1/2
1.f(x)>2，即x+5>2(x>4)，或者3x-3>2(-1/2≤x≤4)，或者-x-5>2(x<-1/2)
解得，x>4，或者5/3<x≤4，或者-7<x<-1/2
综上所述，-7<x<-1/2或者x>5/3.
2.当x>4时，f(x)>9；当-1/2≤x≤4时，-9/2≤f(x)≤9；当x<-1/2时，f(x)>-9/2
∴最小值为-9/2.
3.f(x)的值域为[-9/2，+∞)
4.f(x)在[0,5]上的最小值为f(0)=3×0-3=-3，∴-3≥a^2-3a-7，即a^2-3a-4≤0，
解得-1≤a≤4

Answer 3

f(x)=x+5 当x>4时；f(x)=3x-3 当-1/2<x<4时；f(x)=-x-5 当x<-1/2.
当f(x)>2时，可求得1,x>4；2,。5/2<x<=4;3.x<-7
所以x>5/2或者x<-7
(2)最小值为-9/2
(3)f(x)>=-9/2
(4)(1-5^1/2 , 1+5^1/2)

Answer 4

1、2、3；三题用分段函数解
X<-1/2 f（x）= -x+3
-1/2<X<4 f（x）=3x-3
X>4 f(x)=x+4
在三个区间内进行分别分析 求出域值 （都是一次单调函数简单的吧）
第4题
a^2-3a-7=（a-3/2）^2-37/4
再根据f（x）在 [0,5]的域值的范围用不等式求出a的范围。