Question

P是三角形ABC所在平面外一点，A`，B`，C`分别是三角形PAB.PBC.PAC的重心

（1）求证：平面A`B`C`||平面ABC；
（2）求S三角形A`B`C`：S三角形A`B`C`

Answer 1

 

证明：（1）如图，分别取AB，BC，CA的中点M，N，Q，

连接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM，

∵A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，

∴A′，B′，C′分别在PN，PQ，PM上，

且PC′：PM=PA：PN=PB：PQ=2：3．

在△PMN中，PC′/ PM =PA′/ PN =2 3 ，故C′A′∥MN，

又M，N为△ABC的边AB，BC的中点，MN∥AC，

∴A′C′∥AC，∴A′C′∥平面ABC，

同理A′B′∥平面ABC∴平面ABC∥平面A′B′C′；

（2）由（1）知A′B′ /QN =2/ 3 ，QN/ AB =1 /2 ，∴A′B′/AB=1/3．

∵△A'B'C'∽△ABC ∴S△A'B'C'：S△ABC=（ A′B′/AB）^2=1/9

望采纳，谢谢

Answer 2

（1）作直线PA' PB' PC'分别交AB BC CA于K M N.因为A' B' C'分别为。。。。的重心，所以PA'/PK=PB'/PM=PC'/PN=2/3，所以A'B'||KM B'C'||MN所以平面A`B`C`||平面ABC
（2）由（1）知三角形A`B`C`相似三角形KMN,相似比为2/3，所以S三角形A`B`C`/S三角形KMN=4/9，又因为S三角形KMN/S三角形=1/4S三角形ABC，所以S三角形A`B`C`=1/9S三角形ABC

Answer 3

求S三角形A'B'C':S三角形ABC 作AB中点M，AC中点N，连MN 则PM，PN分别过A',C'，则由于PA':PM=2:3平面A`B`C`平行平面ABC 额。。。