Question

已知函数f(x)=loga(3x2-2ax)在区间【1/2,1】上是减函数,求实数a的取值范围

Answer 1

函数有意义则需0<a<1或a>1
设 t=3x²-2ax=3(x-a/3)-a²/3
对称轴为x=a/3
当0<a<1时，y=log(a)t递减
0<a/3<1/3 对称轴在区间的右侧
t=3x²-2ax在[1/2,1]上递增
复合函数f(x)递增
还需x=1/2时，t>0,
即3/4-a>0,∴a<3/4
∴0<a<3/4

当a>1时，y=log(a)t递增
若f(x)在区间【1/2,1】上递减
需 t=3x²-2ax在[1/2,1]上递减
∴对称轴在区间的左侧
a/3≥1,a≥3
还需x=1时，t>0,
即3-2a>0, a<3/2与a≥3矛盾

∴实数a的取值范围是0<a<3/4