Question

高等数学向量和空间几何问题，第5题

Answer 1

不知道现在学到哪里了，先给出一个方法：
设x正方向单位向量（1,0,0）,y正方向单位向量(0,1,0),z正方向单位向量（0,0,1）
设OP向量（x,y,z）
根据向量内积定义：
若有向量OA=（a1,a2,a3）与向量OB=（b1,b2,b3），则OA·OB=a1b1+a2b2+a3b3=|OA||OB|cosα（*1）
故cosα=（a1b1+a2b2+a3b3）/|OA||OB|（*2）
根据（*1）则：x*0+y*0+z*1=|OP|·cos30=2√3，即z=2√3
由|OP|=√(x^2+y^2+z^2)=4，代入z值得到：x^2+y^2=4（*3）
根据（*2）：
∠POx=（x*1+y*0+z*0）/|OP|=x/4
∠POy=（x*0+y*1+z*0）/|OP|=y/4
有条件上述两角相等，因此x=y
故代入（*3）得到：x=y=√2或x=2=-√2
因此答案为：P点坐标为（√2，√2，2√3）或（-√2，-√2，2√3）

剩下的方法也可以这样，OP与Z轴夹角和长度均已知，z的值没有问题，只能是2√3，因为与两轴夹角相等，则OP在xoy平面的投影是两个角的角平分线，有两种可能，一种是与两轴都呈锐角，一种是都呈钝角，分别是45°与135°，手动计算就好了

Answer 2

5. 题目看不清楚， 按 向量 OP 的模是 1 计算。
设向量与 x， y 轴夹角都是 t，OP 是单位向量 (cost, cost, cos30°)
则 (cos30°)^2 + 2(cost)^2 = 3/4 + 2(cost)^2 = 1, 解得 cost = ±√2/4.
P1(√2/4, √2/4, √3/2), P2(-√2/4, -√2/4, √3/2)