Question

如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），B（2，0） C（6，0）D为y轴正半轴上一点，且角ODB＝30°

延长DB至E,使BE＝BD,P为x轴正半轴上一点，P在C右边，M在EP上，且角EMA＝60°，AM交BE于N。（1）求证BE等于BC（2）求证角ANB等于角EPC （3）当P运动时，求BP-BN的值 要过程

Answer 1

（1）∠ODB=30°，则∠OBD=60°，∴直线BD斜率k(BD)=tan120°=-tan60°=-√3

设D=D(0,d)，已知B(2,0)，∴k(BD)=(d-0)/(0-2)=-d/2=-√3 => d=2√3   => D=D(0,2√3)

∴BD=√[(2√3)^2+2^2]=4   BC=6-2=4  =>BC=BD

又BE=BD  ，∴ BE=BC

（2）由题设及（1）易知 AB=BC=4=BE=BD

又∠ABD=∠CBE=60°，∴△ABD≌△CBE，且均为正三角形

∠ABD=∠ANB+∠NAB=60°，∠EMA=∠EPC+∠MAP=∠EPC+∠NAB=60°

∴ ∠ANB=∠EPC

（3）∵∠ANB=180°-∠ABD=180°-60°=120°，∠ECP=180°-∠BCE=180°-60°=120°

∴∠ANB=∠ECP，又∠ANB=∠EPC，AB=CE=4

∴△ABN≌△ECP  => BN-CP

∴BP-BN=BP-CP=BC=4   与P点的位置无关

Answer 2

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Answer 3