Question

已知不等式x^2-3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n,n∈R}函数f(x)=-x^2+ax+4

1.m,n的值 2.若y=f(x)在(-∞,1]上递增,解关于x的不等式loga(-nx^2+3x+2-m)＜0

Answer 1

分析：
（1）由不等式与相应方程的关系得：1，n是方程x^2-3x+m=0的两个根，再依据根与系数的关系即可求得m，n的值；
（2）根据函数f（x）=-x^2+ax+4在区间（-∞，1]上递增，其图象的对称轴应在直线x=1的右侧，从而得到a的范围，再将原不等式利用对数函数的单调性去掉对数符号转化为整式不等式求解即可．

解：
（1）
∵不等式x^2-3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，x∈R}
∴1+n=3，n=m 得 m=2，n=2
（2）
∵f(x)=-x^2+ax+4＝ 在-(x-a／2）^2+4+a^2／4 （-∞，1]上递增
∴a／2 ≥1，a≥2
又loga(-nx^2+3x+2-m)＝loga(-2x^2+3x)＜0
由a≥2，可知0＜-2x^2+3x＜1
由2x^2－3x＜0，得0＜x＜3／2
由2x^2－3x＋1＞0得x＜1／2或x＞1
故原不等式的解集为{x|0＜x＜1／2 或1＜x＜3／2}

Answer 2

：解：（1）∵不等式x2-3x+m＜0的解集为{x|1＜x＜n，n∈R}，
∴1+n=31×n=m，解得m=2，n=2；
（2）因为函数f（x）=-x2+ax+4在（-∞，1]上递增，所以a/2≥1所以a≥2
∴不等式loga(-nx2+3x+2-m)＜0等价于2x2-3x＜02x2-3x+1＞0
∴0＜x＜3/2x＞1或x＜1/2
∴0＜x＜1/2或1＜x＜3/2．