Question

如何判断可去间断点?

Answer 1

x=1是可去间断点。

给定一个函数f（x），对该函数在x0取左极限和右极限。f(x)在x0处的左、右极限均存在的间断点称为第一类间断点。若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。

设f(x)在Xo的某一邻域内有定义且Xo是函数f(x)的间断点，那么如果f(x-)与f(x+)都存在，则称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果f(x-)=f(x+)且不等于f(Xo)（或f(Xo)无定义）,则称Xo为f(x)的可去间断点(Removable Discontinuity )[1]  。

可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数

可去间断点是左极限和右极限存在但是该点没有定义又称为可补间断点

可去间断点就是左极限=右极限，但是不=该点的函数值，或者在该点没有定义。

因此，可去间断点是不连续的。如果  =   f(a), a就是可去间断点

Answer 2

其实就是看看x=啥的时候，分子分母的极限同时为0，就有可能是可去间断点。
单独分子极限为0，分母极限不为0；或者单独分母极限为0，分子极限不为0的点，都不可能是可去间断点。
所以就这样题目而言，分子极限为0的点就三个，x=-1，x=0，x=1
而x=-1的时候，分母的极限是0，可以考虑
当x→-1的时候，令t=x+1，则x=t-1，当x→-1的时候，t→0

sinπx=sinπ（t-1）=sin（πt-π）=-sinπt
x-x³=（t-1）-（t-1）³=（t-2）（t-1）t
所以原极限=lim（t→0）[（t-2）（t-1）t]/（-sinπt）=-lim（t→0）[（t-2）（t-1）t]/πt
=-lim（t→0）（t-2）（t-1）/π=3/π
极限存在，是可去间断点。
类似的，可以证明x=0和x=1的时候，都有极限，所以都是可去间断点，有3个。

Answer 3

这里有几个关键的，这几个关键地方掌握了，这道题目几乎不用计算，仅凭目测就能知道各个间断点的类型，这对于做填空题、选择题、判断题能节省不少时间。即使对做计算题，对结果有了预知，算起来也不容易错。
分母在x=0、x=1、x=-1这三个点时，分母为0，所以这三个点是其间断点。
你看，分母中有个|x|，这就是个关键点。因为|x|在x大于0和x小于0的时候，是不同的表达式。当x＞0时，|x|=x，当x＜0时，|x|=-x
所以f（x）在x＞0和x＜0的时候，有不同的表达式。因此从x＜0方向趋近于0（x=0时的左极限）和从x＞0的方向趋近于0（x=0时的右极限）需要用不同的表达式。所以左右极限可能会不一致。但是因为分子也有x这个因式（分子x²-x=x（x-1）），所以无论是x＞0还是x＜0，分子分母的x在求极限时，都可以约去。所以x=0这点有左右极限，但左右极限不相等，是跳跃间断点，属于第一类间断点。
x=1时，在x=1附近，x都是正数，|x|表达式不变，就是x，所以f（x）在x=1左右表达式不变。所以这个点的左右极限情况相同，如果有，左右极限相等；如果一个无，另一个也无。而分子分母都有x-1这个因式，可以约去。所以左右极限存在且相等，是可去间断点，属于第一类间断点。
x=-1这个点附近x都是负数，所以f（x）在x=-1附近表达式不变，因为x趋近于-1时，分母极限为0，分子极限不是0，所以极限是无穷大，是无穷间断点，属于第二类间断点。
这样子，不需要具体计算，直接目测就能判断了。

Answer 4

5.解:若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。但在x0处没有定义，这样的间断点可以通过补充在x0处的定义，而成为连续点。故把这样的间断点称之为可去间断点。
因f(x)=(x-x^3)/sin(pai*x)
由于sin(pai*x)=0时，即pai*x=k*pai,x=k(k=0,1,2,3，......-1，-2，-3,.....)时没有定义。
注意x-x^3=x(1-x)(1+x).
1）当x=k(k为不为0的整数，即为2，3，......-2，-3，.....)时，且x--->k时，得limf(x)=lim(x-x^3)/sin(pai*x)=无穷大。这些整数点2，3，......-2，-3，.....是函数的无穷间断点。
2）当x=0时，且x--->0时，得limf(x)=lim(x-x^3)/sin(pai*x)=limx(1-x^2)/(pai*x)
=lim(1-x^2)/pai=1/pai,
可以增加定义f(0)=1/pai，从而使新的函数在x=0处成为连续点。
所以x=0为原函数的可去间断点。
3）当x=1时，且x--->1时，得limf(x)=lim(x-x^3)/sin(pai*x)=lim(1-3x^2)/pai*cos(pai*x)
=2/pai,
可以增加定义f(1)=2/pai，从而使新的函数在x=1处成为连续点。
所以x=1为原函数的可去间断点。
4）当x=-1时，且x--->-1时，得limf(x)=lim(x-x^3)/sin(pai*x)=lim(1-3x^2)/pai*cos(pai*x)
=2/pai,
可以增加定义f(1)=2/pai，从而使新的函数在x=-1处成为连续点。
所以x=0,1,-1为原函数的可去间断点。x=2，3，......-2，-3，.....是函数的无穷间断点。

Answer 5

首先要知道
第一类间断点（左右极限都存在）有以下两种
1跳跃间断点 间断点两侧函数的极限不相等
2可去间断点 间断点两侧函数的极限存在且相等 函数在该点无意义
第二类间断点（非第一类间断点）也有两种
1振荡间断点 函数在该点处在某两个值比如-1和+1之间来回振荡
2无穷间断点 函数在该点极限不存在趋于无穷
先看函数在哪些点是没有意义的

再分两大类判断：
无穷间断点 和 非无穷间断点
这两种应该很容易区分

在 非无穷间断点 中，还分可去间断点 和 跳跃间断点
如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点