Question

在半径为R的圆形铁皮上割去一个圆心角为θ的扇形，使剩余部分围成一个圆锥，θ为何值时圆锥容积最大

用有关不等式的方法求，急！谢谢！

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

解：设所围圆锥的底面半径为r，高为h,根据题意得
2*pi*r=(2*pi-θ)*R
所以r=(2*pi-θ)*R/(2*pi) [【1】

h^2=R^2-r^2
h＝（R^2-r^2）^0.5 【2】

圆锥体积
V=1/3*pi*r^2*h 【3】

将【1】和【2】代入【3】
得到V＝1/24/pi^2*R^3*(-2*pi+θ)^2*(-θ*(-4*pi+θ))^(1/2) 【4】
对【4】求导，并令dV/dθ＝0
dV/dθ＝1/12/pi^2*R^3*(-2*pi+θ)*(-θ*(-4*pi+θ))^(1/2)+1/48/pi^2*R^3*(-2*pi+θ)^2/(-θ*(-4*pi+θ))^(1/2)*(4*pi-2*θ)＝0

解得：
θ =
[ 2*pi]
[ 2*pi+2/3*6^(1/2)*pi]
[ 2*pi-2/3*6^(1/2)*pi]
显然，θ=2*pi和a=2*pi+2/3*6^(1/2)*pi不合理

所以，θ＝2*pi*(1-√6/3)≈0.3670*pi＝66.0612度。

Answer 3

底面周长为（2π-a）R
于是底面半径为r=（2π-a）R/2π
高为根号（R²-r²）
V=（1/3）πr²根号（R²-r²）
这步用均值不等式r²*r²*（R²-r²）=（1/2）[r²*r²*（2R²-2r²）]≤（1/2）（2/3）³（R³）²
于是V≤（2π/27）（根号3）R³。当r²=（2/3）R²时等号成立
此时r=（根号6）R/3
即（根号6）R/3=（2π-a）R/2π
得a=[6-（2根号6）]π/3