Question

椭圆C中心在O焦点在x轴上，长轴为短轴根号2倍，过M（2,根号2）

1 求C方程
2 过x2+y2=8/3上任意一点做圆的切线L和椭圆交于A，B。求证向量OA乘向量OB为定值

Answer 1

解：1 设椭圆C的短半轴为b，则长半轴a=（根号下2）*b，椭圆C的方程为：（X的方）/[2*（b的方）]+（Y的方）/（b的方）=1———①，因为M（2，根号下2）在椭圆上，故将X=2，Y=根号下2代入①并解之得：b的方=4，故椭圆C的方程为：（X的方）/8+（Y的方）/4=1，即：X的方+2*（Y的方）-8=0———②。
2 设过圆X的方+Y的方=8/3上任意一点T（M，N）做圆的切线L和椭圆交于A，B两点，设A、B两点的坐标分别为（X1，Y1）、（X2，Y2），则向量OA=（X1，Y1），向量OB=（X2，Y2），向量OA*向量OB=X1X2+Y1Y2———③，因为切点为T（M，N），故过O、T两点的直线的方程为：Y=（N/M）*X，所以圆的切线L的方程为：Y-N=-（M/N）*（X-M）———④，将②、④联立解之并运用韦达定理得：X1X2=[4*（M的方）*（N的方）-8*（N的方）+2*（M的4次方）+2*（N的4次方）]/[（N的方）+2*（M的方）]，Y1Y2=[2*（M的方）*（N的方）+N的4次方+M的4次方-8*（M的方）]/[2*（M的方）+N的方]，将X1X2、Y1Y2代入③得：向量OA*向量OB=X1X2+Y1Y2={（M的方+N的方）*[3*（M的方+N的方）-8]}/[2*（M的方）+N的方]，又因为T（M，N）在圆X的方+Y的方=8/3上，故：M的方+N的方=8/3，将其代入上式得：X1X2+Y1Y2={（8/3）*[3*（8/3）-8]}/ [2*（M的方）+N的方]=0，所以：向量OA*向量OB=0为定值。