Question

如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，点E为CD的中点，BE交AC于F点

延长AC至M使MC=AC，连MD，求证MD⊥BF

Answer 1

作MH⊥AB于H

1）证DH=DA

2）证△BCD∽△BAC∽△MAH

         对应中线的比等于相似比

3)证△MDA∽△BEC

得角DMA=∠EBC即可 

Answer 2

证明：因为CD⊥AB，∠ACB=90°
所以∠A+∠DCA=∠DCA+DCB=90°
所以∠A=∠BCE
又因为点E为CD的中点,MC=AC
所以BC/MA=BC/2AC=1/2（BC/AC)=1/2tanA
CE/AD=1/2CD/AC=1/2(CD/AC)=1/2tanA
所以BC/MA=CE/AD
又因为∠A=∠BCE
所以△BCE∽△MAD
所以∠M=∠CBE
设BF与MD交于点G，BC与MD交于点O
因为∠BOE=∠MOC
所以∠BGM=∠BCM=90°
所以MD⊥BF。