Question

设R[x]是实数域上的一元多项式全体组成的线性空间。下列自己是否为线性子空间，为什么？？

（1）{P(x) | P(0) != 0}
(2) {P(x) | P(-x) = P(x) }

Answer 1

（1）设:G={P(x) | P(0) != 0},
P1(x), 是它的一个元素,即有P1(0) !=0.
此时:取:P2(x) =-P1(x), 则有P2(0) = -P1(0) !=0.
即P2(x)也是G的元素.
取P3(x)=P1(x)+P2(x), 则有:P3(0)=0. 知P3(x)不是G的元素.
即G对于加法运算不封闭, 故G不是 所指线性空间的子空间.

(2）设:H={P(x) | P(-x) = P(x)},
P1(x), P2(x)是H的任意两个元素,即有P1(-x) = P1(x), P2(-x) = P2(x)
又对于任意实数k1, k2,
记P3(x) =k1P1(x) + k2P2(x) ,
有:.P3(-x) =k1P1(-x) + k2P2(-x) = k1P1(x) + k2P2(x)= P3(x).
即P3(x)也是H的元素.
即知:H={P(x) | P(-x) = P(x)},是所指线性空间的子空间