Question

求逆矩阵

1）。若A是n阶方阵且满足A^2=A,且矩阵A+E可逆，则（A+E)^-1=?
答案是-1/2(A-2E).请问是怎么求出来的呢？
2).设A,B,A+B,A^-1+B^-1均为n阶可逆矩阵，则(A^-1+B^-1)^-1=?
答案是A[(A+B)^-1]B.
请问啊，上面的两个答案是怎么求的？能不能详细说明啊？

Answer 1

Answer 2

51 分钟前 WskTuuYtyh| 十二级
1）。若A是n阶方阵且满足A^2=A,且矩阵A+E可逆，则（A+E)^-1=?
答案是-1/2(A-2E).请问是怎么求出来的呢？
解：以下用AA表示A^2.
由已知，(A+E)(A-2E)=AA-A-2E=-2E，因A+E可逆，
故A-2E=(A+E)^-1*(-2), 于是 (A+E)^-1=-(A-2E)/2

2).设A,B,A+B,A^-1+B^-1均为n阶可逆矩阵，则(A^-1+B^-1)^-1=?
答案是A[(A+B)^-1]B.
解：
A^-1*(A^-1+B^-1)^-1*B^-1
=(B(A^-1+B^-1)A) ^-1
=(BA^-1+E)A)^-1
=(B+A)^-1
=(A+B)^-1
于是
(A^-1+B^-1)^-1=A * (A+B)^-1 *B.

注意：此题中，A,B的位置具有对称性。因此，交换A,B得到的式子也是正确的：
(A^-1+B^-1)^-1=(B^-1+A^-1)^-1＝B * (A+B)^-1 *A

Answer 3

1、设B=A+E。则A=B-E。代入A的方程，得到

(B-E)^2 = B-E
=> B^2 = 3B - 2E

因为已知B可逆，所以可以在上式两端同时乘以B^-1，得到

B = 3E - 2B^-1
=> B^-1 = (1/2)*(3E - B) = (1/2)*(2E - A)

2、先观察B*(A^-1 + B^-1)：

B*(A^-1 + B^-1)
= B*A^-1 + E
= B*A^-1 + A*A^-1
= (B+A)*A^-1

=> (A^-1 + B^-1) = B^-1*(A+B)*A^-1

那么，因为A+B也可逆，所以

(A^-1 + B^-1)^-1
= [B^-1*(A+B)*A^-1]^-1
= A*(A+B)^-1*B

Answer 4