Question

已知平行四边形ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE=5，DF=8，则BE+BF的长为

我们老师说答案是6+3根号3 求证明过程

Answer 1

证明：平行四边形ABCD的面积=DE*AB=DF*BC
∵DE=5，DF=8
∴5AB=8BC (1)
∵平行四边形ABCD的周长为52
∴AB+BC=52/2=26 (2)
由(1)和(2)解得AB=16，BC=10
在直角三角形ADE中
∵AE*AE=AD*AD-DE*DE=10*10-5*5=75，得AE=5根号3
∴BE=AB-AE=16-5根号3
在直角三角形CDF中
∵CF*CF=CD*CD-DF*DF=16*16-8*8=192，得CF=8根号3
∴BF=CF-CB=8根号3-10
∴BE+BF=16-5根号3+8根号3-10=6+3根号3

Answer 2

解：由题设AD=x,则AB=52\2-x=26-x
平行四边形ABCD面积S=ABXDE=ADXDF
则S=（26-x）X5=8x
解得x=10
所以有AD=BC=10 AB=CD=16
在直角三角形DFC中可解得FC=8倍根号3
BF=FC-BC=8倍根号3-10
在直角三角形ADE中可解得AE=5倍根号3
BE=AB-AE=16-5倍根号3
所以BE+BF=16-5倍根号3+8倍根号3-10=6+3倍根号3（得解）

Answer 3

由垂直，角A与角C相等
可得三角形ADE与三角形CDF相似
那么AD:CD=5:8
又因为周长52
所以AD=10，CD=16
所以AE=5根号3，CF=8根号3
所以BE=16－5根号3，BF=10 8根号3
所以BE BF=6 3根号3