Question

若f(x)的定义域关于原点对称，则F（x）=f(x)+f(-x)为偶函数，F(x)=f(x) -f(-x)为奇函数 怎么理解

Answer 1

如果F(-x)=F(x),则第一个F(x)就是偶函数，

F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=F(x)

所以第一个F(x)就是偶函数；

第二个F(x)

F(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(X)

所以F(x)是奇函数；

 

另外顺便说一下任何一个函数f(x)只要定义域关于原点对称它都能写成一个偶函数与奇函数的和！

f(x)见图片：

 

追问

非常感谢，但是图片里的内容有点不明白，为什么会相等呢

追答

两式一加每一个的后半部都被抵消了，剩下[f(x)+f(x)]/2=f(x)

Answer 2

用定义去验证。
1. 令 F(x)=f(x)+f(-x)，则 F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，所以 F(x)是偶函数；
2.令 G(x)=f(x)-f(-x)，则 G(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x)，所以 G(x)是奇函数。

Answer 3

F（x）=f(x)+f(-x)为偶函数,因为F（-x）=f(x)+f(-x)=F（x）
F(x)=f(x) -f(-x)为奇函数，因为F（-x）=f(-x)-f(x)=-F（x），且定义域对称