Question

数列{an}满足a1=1,an+1=√an^2+4,求{an}的通项公式an

Answer 1

解：
表达式为算术平方根，又a1=1>0，数列各项均非负。
a(n+1)=√(an²+4)
a(n+1)²=an²+4
a(n+1)²-an²=4，为定值。
a1²=1
数列{an²}是以1为首项，4为公差的等差数列。
an²=a1²+4(n-1)=1+4(n-1)=4n-3
an=√(4n-3)
n=1时，a1=√(4-3)=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=√(4n-3)。

Answer 2

(1)an+1=an+4n
an=an-1+4(n-1)
an-1=an-2+4(n-2)
……＝……
a3=a2+4*2
a2=a1+4*1
等式左右分别相加
an+1+an+……+a3+a2=an+an-1+……+a2+a1+4n+4(n-1)+……+4*2+4*1
左右的an+……+a3+a2可抵消得
an+1=a1+4n+4(n-1)+……+4*2+4*1
=a1+4(n+n-1+……+2+1)
所以 an =2+4*（n-1+……+2+1)
＝2+4*（n-1+1)*(n-1)/2
=2+2n(n-1)
=2n^2-2n+2
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