Question

弓形面积公式

有一种图形叫做弓形，如图1的灰色部分所示。我在学习圆的时候，经常遇到算这种图形的面积的题，而书中并没有讲这种图形的面积公式，题目的条件也较少，所以请大家帮忙。
图1中l是弧长，h是弧与弦的距离，b是弦长，r是弓形所在的圆的半径，α（/'ælfə/）是圆心角。
如果如图2所示，只告诉了半径r=12cm和弧与弦的距离h=6cm，又如何计算出浅蓝的部分的面积？
不要用“扇形的面积减三角形的面积”回答，因为图中没有告诉三角形的高。
可使用sin、cos、tan等三角函数符号回答。
注：∠α＜180°

Answer 1

图1中l是弧长，h是弧与弦的距离，b是弦长，r是弓形所在的圆的半径，α（/'ælfə/）是圆心角。
α=l/r弧度=(l/r)*(180/PI)度
b=2*r*SIN(α/2)
α=2*ARC SIN((b/2)/r)=2*ARC COS((r-h)/r)
h=r-r*COS(α/2)
S=PI*r^2*α/360-b*(r-h)/2

如果如图2所示，只告诉了半径r=12cm和弧与弦的距离h=6cm，又如何计算出浅蓝的部分的面积？
α=2*ARC COS((r-h)/r)=2*ARC COS((12-6)/12)=120度
b=2*r*SIN(α/2)=2*12*SIN(120/2)=20.785
S=PI*r^2*α/360-b*(r-h)/2=PI*12^2*120/360-20.785*(12-6)/2=88.443

追问

这里的ARC对三角函数有什么作用？能否去掉？去掉后是否影响运算结果？

追答

COS(α/2)=(r-h)/r
α/2=ARC COS((r-h)/r)
α=2*ARC COS((r-h)/r)
ARC COS-----反余弦函数
所以不能去掉！

追问

如果知道cos=，那么怎样用arc cos 计算α？

追答

COS(α/2)=(8-2)/6
α=ARC COS((8-2)/6)
=ARC COS(6/6)
=ARC COS(1)
=0度