Question

已知函数f(x)=1+sinxcosx,g(x)=cos²(x+π/12)

（1）设x=X0是函数y=f（X)的图像上的一条对称轴，求g（X0）的值。 （2）求使h（x）=f（wx/2）+g（wx/2），（w大于0），在区间[-2π/3，π/3]上是增函数的w的最大值 写清楚点 写清楚点

Answer 1

解：（I）f(x)=1+sinxcosx=1+1 2 sin2x，g(x)=cos2(x+π 12 )=1 2 [1+cos(2x+π 6 )]，
∵x=x0是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴2x0=kπ+π 2 (k∈Z)，
∴g(x0)=cos2(x0+π 12 )=1 2 [1+cos(2x0+π 6 )]=1 2 [1+cos(kπ+2π 3 )]
当k为偶数时，g(x0)=1 4 ；当k为奇数时，g(x0)=3 4 .
（II）h(x)=3 2 +1 4 sinωx+ 3 4 cosωx=1 2 sin(ωx+π 3 )+3 2
∵ω＞0，∴当x∈[-2π 3 ，π 3 ]时，ωx+π 3 ∈[-2ωπ 3 +π 3 ，ωπ 3 +π 3 ]
∴[-2ωπ 3 +π 3 ，ωπ 3 +π 3 ]⊆[2kπ-π 2 ，2kπ+π 2 ](k∈Z)，
∴ -2ωπ 3 +π 3 ≥2kπ-π 2 ωπ 3 +π 3 ≤2kπ+π 2 ，即 ω≤-3k+5 4 ω≤6k+1 2 ，
∵ω＞0，∴ -3k+5 4 ＞0 6k+1 2 ＞0 ，-1 12 ＜k＜5 12 ，
∵k∈Z，∴k=0，∴ω≤1 2 ，ω的最大值是1 2

Answer 2

化简上面两个函数，f(x)=1+sinxcosx=1＋1／2sin2x g(x)=cos²(x+π/12)=1／2＋1／2cos﹙2X＋π/6﹚

2X0=π/2 ＋Kπ g(X0)=﹙±√3﹚／2

f（wx/2）+g（wx/2）＝3／2 ＋1／2 sin﹙Wx＋π/3﹚
π/﹙2 W﹚ －π/3≥π/3
－π/﹙2 W﹚－π/3≤-2π/3
W最大为3／2

Answer 3

（1）设x=X0是函数y=f（X)的图像上的一条对称轴，求g（X0）的值。 kπ+π/4+π/12)]^2=[cos(kπ+π/3)]^2=(+-cosπ/3)^2=1/

Answer 4

解：（1）因为：f（x）=1+sinxcosx=1+12sin2x，
其对称轴：2x=kπ+π2⇒x=kπ2+π4．
而g（x）=cos2（x+π12）=1+cos(2x+π6)2．
把x=kπ2+π4代入得g（x）=1+cos(kπ+π2+π6)2
=1-sinπ62=1-1212=14．
（2）因为：h（x）=f（ωx2）+g（ωx2）
=1+12sinωx+1+cos(ωx+π6)2
=32+12sinωx+12cos（ωx+π6）
=32+12sinωx+12（32×cosωx-12sinωx）
=32+12（32cosωx+12sinωx）
=32+12cos（ωx-π6）．
当x∈[-2π3，π3]时，ωx-π6∈[-2ωπ3-π6，ωπ3-π6]．
因为函数在区间[-2π3，π3]上是增函数
所以须有-2ωπ3-π6≥-π且ωπ3-π6≤0；
解得：ω≤54且ω≤12．
故ω的最大值为：12．