Question

初中数学几何证明题求解！！！

如图 △ABC中 ，∠C=60° AD⊥BC于D BE⊥AC于E，M为AB的中点，N为DE的中点。
（1）求证MN⊥DE
（2）求MN:DE的值

Answer 1

（1）证明：因为AD垂直BC于D
所以角ADB=90度
所以三角形ADB是直角三角形
因为BE垂直AC于E
所以角AEB=90度
所以三角形AEB是直角三角形
因为M是AB的中点
所以EM,DM分别是直角三角形AEB和直角三角形AEB的中线
所以EM=1/2AB
DM=1/2AB
所以EM=DM
所以三角形MDE是等腰三角形
因为N是DE的中点
所以MN是等腰三角形MDE的中线
所以MN是等腰三角形MDE的垂线（等腰三角形三线合一）
所以MN垂直DE
(2)解：设AD与BE相交于点O
因为角DOB=角OAB+角OBA
因为角AEB=角ADB=90度
所以A,B,D,E四点共圆
所以角DEB=角OAB
因为角C=60度 ，角ADC=角ADB=90度
因为角C+角ADC+角DAC=180度
所以角DAC=30度
因为角DAC+角AEB+角AOE=180度
所以角AOE=60度
因为角AOE=角DOB
因为M是直角三角形AEB中AB的中点
所以ME=MB
所以角MEB=角MBE
所以角DOB=角DEB+J MEB=60度
因为MN垂直DE(已证）
所以角MNE=90度
所以tan60=MN/NE
所以MN/NE=根号3
因为N是DE的中点
所以NE=1/2DE
所以MN:DE=根号3:2

Answer 2

⑴连结MD、ME
∵∠AEB＝90°，M是AB的中点
∴ME＝1/2AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
同理可证：ME＝1/2AB
∴MD＝ME
∵N是DE的中点
∴MN⊥DE(等腰三角形底边上的高与底边上的中互线相重合)

⑵∵∠ADC＝∠BEC＝90°
∴△ADC∽△BEC
∴CD/CE＝AC/BC
∵∠ECD＝∠BCA
∴△CDE∽△CAB
∴DE/AB＝CD/AC
∵∠C＝60°，∠ADC＝90°
∴CD/AC=1/2
∴DE/AB＝1/2
∴DE＝1/2AB
∵MD＝ME＝1/2AB
∴MD＝ME＝DE
∴MN/DE＝MN/MD＝√3/2

Answer 3

由圆的直径所对的圆周角为90度可知
D、E均在以AB为直径的圆周上，M为AB的中点，M即为此圆圆心
连接ME、MD，可得ME、MD都为圆半径，相等
三角形MED为等腰三角形，角C为60度，则圆周角角EAD为30度，相对应的圆心角EMD为60度
由此可知三角形EMD为等边三角形
等边三角形的三相重合，可证明MN⊥DE
MN:DE=MN:2NE=sin60/2=根号三 /2

Answer 4

（1）连接ME、MD，
ME=MD=1/2AB，
三角形EMD为等腰三角
N为ED中点，
所以MN⊥DE；
（2）∠C=60° ，AD⊥BC，所以CD=1/2AC,同理，CD=1/2AC,三角形ABC和三角形CDE相似ED=1/2AB；
在直角三角形ENM中，EN=1/4AB,EM=1/2AB EM/EN=2 所以MN=根号3倍的EN。
MN:DE=根号3:2
求解

Answer 5

（1）连接ME.MD，ME=MD=1/2AB，所以三角形EMD为等腰三角形，N为ED中点，所以MN⊥DE
（2）∠C=60° ，AD⊥BC，所以CD=1/2AC,同理，CD=1/2AC,三角形ABC和三角形CDE相似ED=1/2AB
在直角三角形ENM中，EN=1/4AB,EM=1/2AB EM/EN=2 所以MN=根号3倍的EN。
MN:DE=根号3:2