已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>o)的离心率为1/2,椭圆的中点O关于直线2X-y-5=0
1、 直线2x-y=5, y=2x-5,
设O点关于y=2x-5对称点Q（x0,y0）,
则直线OQ与y=2x-5互为负倒数，斜率k1=-1/2,
OQ方程为：y=-x/2,
则和y=2x-5的交点为：-x/2=2x-5,
x=2,y=-1,
二直线交点为P（2，-1），
根据中点公式，2=（0+x0）/2,
x0=4,
-1=(0+y0)/2,
y0=-2,
∴Q（4，-2），
Q在直线x=a^2上，
∴a^2=4,
a=2,
离心率e=c/a.
c/2=1/2,
∴c=1,
b=√（a^2-c^2）=√3，
∴椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1.
2、 M、N点从椭圆的右顶点开始，直至MP、NP和椭圆上下顶点为止，二直线斜率互为相反数，N点可上可下，若N极端在切点位置，
设y=k(x-4),
x^2/4+k^2(x-4)^2/3=1,
当判别式=0时，有一公共点，k=±1/2，
∴PN的斜率范围：
-1/2≤k≤1/2,（k≠0）
因MN关于X轴对称，故X轴是MN的垂直平分线，
设M（x0,m）,N(x0,-m)，MN和X轴交点为H，ME和X轴交点为F’
椭圆的右准线方程为：x=a^2/c=4,
∴P点在右准线上，由M、N、E向右准线作垂线MM1，NN1，EE1，M1、N1、E1分别是垂足，
∵|HM|=|NH|，
∴|PM1|=|PN1|，
∵EE1//NN1，
∴△PEE1∽△PNN1，
∴|EE1|/|NN1|=|PE1|/|PN1|，
∵|PN1|=|PM1|，|PN1|=|PM1|，
∴|EE1|/|MM1|=|PE1|/|PM1|，
∵根据平行比例线段定理，|PE1|/PM1|=|EF’|/MF’|,
∴|EE1|/|MM1|=|EF’|/MF’|
∴|EE1|/|EF’|=|MM1|/|MF’|,
即|EF’|/|EE1|=|MF’|/|MM1|,(反比)，
根据椭圆第二定义，
|MF2|/|MM1|=|EF2|/|EE1|，
∴F’就是椭圆的右焦点，直线ME与x轴相交于定点是右焦点F2。
