Question

已知a,b,c为不全相等的正实数,且ab<1,求证 √a + √b + √c < 1/a + 1/b + 1/c

Answer 1

∵a,b,c为不全相等的正实数,且abc<1
∴a,b,c均不为零
∴1/a+1/b≥2√(1/ab)>2√[abc/(ab)]=2√c①
1/b+1/c≥2√(1/bc)>2√[abc/(bc)=2√a②
1/c+1/a≥2√(1/ac)>2√[abc/(ca)]=2√b③
∴①＋②＋③得
2(1/a+1/b+1/c)>2(√a+√b+√c)
∴ √a + √b + √c < 1/a + 1/b + 1/c
主要考基本不等式

Answer 2

a,b,c为不全相等的正实数,且abc<1
∴1/a+1/b≥2√(1/ab)>2√[abc/(ab)]=2√c
1/b+1/c≥2√(1/bc)>2√[abc/(bc)=2√a
1/c+1/a≥2√(1/ac)>2√[abc/(ca)]=2√b
将上面3式子相加
2(1/a+1/b+1/c)>2(√a+√b+√c)
∴ √a + √b + √c < 1/a + 1/b + 1/c

追问

哦- -。 打错了 是abc=1 ...谢谢

追答

不客气，能帮助你很高兴