Question

已知tanα,tanβ是方程x²-4x-2=0的两个实根

求cos²(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin²(α+β)的值？

Answer 1

tanα+tanβ=4 tanα*tanβ=-2 所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=4/3
cos²(α+β)=1/(1+tan²(α+β))=9/25
cos²(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin²(α+β)
=cos²(α+β)(1+2tan(α+β)-3tan(α+β)^2)
=9/25(1+8/3-16/3)=-3/5

Answer 2

tanα+tanβ=4 tanα*tanβ=-2

∴tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=4/3 ，
∴cos^2（α+β）+2sin（α+β）cos（α+β）-3sin^2（α+β）
=[cos^2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+β)-3sin^2(α+β) ]/[cos^2(α+β)+sin^2(α+β)]
=[1+2tan(α+β)-3tan^2(α+β) ]/[1+tan^2(α+β) ]=-3/5 ．