Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．求AD的长．

答案是
证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC．

又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）

∴∠ABE=∠CAD，BE=AD（全等三角形的对应角，对应边相等）

∵∠BPQ是△ABP的外角

∴∠BPQ=∠BAP＋∠ABE=∠BAP＋∠PAE=∠BAC=60°，

∵PQ⊥BQ

∴∠PBQ=30°．

又∵BQ⊥PQ，∴PB=2PQ=6，

∴BE=PB＋PE=7，

∴AD=BE=7．可是我不知道为什么PB=2PQ=6。

Answer 1

因为你已经证明在直角三角形PBQ中，∠PBQ=30°，∠BPQ=60°（定理：在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）也就是说，∴PB=2PQ=6

Answer 2

解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD​
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．

Answer 3

解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD​
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．

Answer 4

直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半
∵∠BPQ=60°
∵∠BQP=90°
∴∠PBQ=30°

Answer 5

完整的应该是“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”书上有