Question

求对坐标的曲面积分∫∫(x^2*y^2*z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下侧

Answer 1

下半球面为z = - √(r² - x² - y²)，取下侧

投影区域D为x² + y² ≤ r²

所以∫∫Σ dxdy

= - ∫∫D dxdy，下侧取

= - D的面积

= - π r²

对曲面积分的理解

第一型曲线积分和第一型曲面积分是以线密度和面密度为背景的线积分，强调是以线段（弧长）、面积为积分元素即：ds。

 第二型曲线曲面积分则是分别以力做功和流量为背景的积分，强调的是对坐标的积分。实际上我认为第二类曲线曲面积分就是对矢量进行积分的一种积分规则。二、三维空间的矢量依靠分解到三个坐标轴上分别积分，其中需要通过变换积分元素。

Answer 2

用公式直接计算：
注意是球面的下侧，所以z=-√R^2-x^2-y^2，化成二重积分时取负号
S在xoy面的投影为Dxy：x^2+y^2≤R^2
则原式化成二重积分=-∫∫（Dxy上）【x^2*y^2*（-√R^2-x^2-y^2）】dxdy
=∫∫（Dxy上）【x^2*y^2*√R^2-x^2-y^2）】dxdy
用极坐标算上述二重积分
=∫（0到2∏）dθ∫（0到R）【（sinθ）^2*（cosθ）^2*r^5*√R^2-r^2】dr
=∫（0到2∏）（sinθ）^2*（cosθ）^2dθ∫（0到R）r^5*√R^2-r^2dr
=2∏R^7/105。
其中∫（0到2∏）（sinθ）^2*（cosθ）^2dθ
=∫（0到2∏）[（1-cos2θ）/2]*[（1+cos2θ）/2]dθ
=∫（0到2∏）[1-(cos2θ）^2]/4dθ
=∫（0到2∏）[1-(1+cos4θ）/2]/4dθ
=∫（0到2∏）(1-cos4θ）/8dθ
=∏/4
其中∫（0到R）r^5*√R^2-r^2dr，令r=Rsint，
得=∫（0到∏/2）R^7*（sint）^5*（cost）^2dt
=R^7∫（0到∏/2）[（sint）^5-(sint）^7]dt
=R^7∫（0到∏/2）[（sint）^4-(sint）^6]*sintdt
=-R^7∫（0到∏/2）[1-（cost）^2]^2*[1-(cost）^2]^3dcost
=-R^7∫（0到∏/2）[(cost）^2-2(cost）^4+(cost）^6]dcost
=8R^7/105。