Question

高等数学求极限问题

X趋于0 分子是e^x-e^(xcosx)
分母是xln（1+x）
Sorry。。。
那个。。。题目错了分母是x^2*ln（1+x）~~算了等价无穷小简化一下是x^3,所以就当分母是x^3好了
截图分母也是错的

还有哦别用洛必达可以不。。（怪我没说清楚）
答案的过程是lim e^(xcosx)*{e^[x(1-cosx)]-1}/x^3 我按这个也能做出答案1/2
但我最初的做法lim e^x(1-e^cosx)/x^3=>lim (e^x)*(-cosx)/x^3却算不出答案~~为什么。。。

为什么要向上面那样提公因式，下面哪种提法做不出来~~

Answer 1

我就不写极限符号了
先用等价无穷小替换ln(1+x)~x
e^x-e^(xcosx)/x^2
=e^x(1-e^(xcosx-x))/x^2
替换1-e^(xcosx-x)~x-xcosx
=e^x(1-cosx)/x
替换1-cosx~(1/2)x^2
=(1/2)xe^x
=0

Answer 2

用两次洛必达法则：

[e^x-e^(xcosx)]'=e^x-(cosx-xsinx)e^(xcosx)

[e^x-(cosx-xsinx)e^(xcosx)]'=e^x+(2sinx+xcosx)e^(xcosx)-(cosx-xsinx)e^(xcosx)

[xln(1+x)]'=ln(1+x)+x/(1+x)

[ln(1+x)+x/(1+x)]'=1/(1+x)+1/(1+x)^2

lim(x-->0)[e^x-e^(xcosx)]/[xkn(1+x)]

=lim(x-->0)[e^x+(2sinx+xcosx)e^(xcosx)-(cosx-xsinx)e^(xcosx)]/[1/(1+x)+1/(1+x)^2]

=0

.

Answer 3

因为1-cosx~x^2/2
ln(1+x)~x
所以lim[e^x-e^(xcosx)]/[xln(1+x)]
=lim(e^x*x^2/2)/x^2
=lime^x/2
=1/2

Answer 4

难道你不觉得你写的lim【 e^x(1-e^cosx)】/x^3=>lim (e^x)*(-cosx)/x^3有问题吗，方括号内，和原式不等