Question

高中基本不等式求解

高中基本不等式求解求3、4问

Answer 1

2x+y=xy-6>0
xy-6大于等于2倍根号（2xy）
设xy=m（m>6），则（m-6）^2大于等于8m
即（m-10)^2大于等于64
故有m大于等于18
当且仅当2x=y=6时，等号成立

1、4x^2+y^2=(2x+y)^2-4xy=(xy-6)^2-4xy
则
原式=(m-6)^2-4m
=m^2-16m+36
=(m-8)^2-28
当m>8时，函数单调递增；
即m=18时，函数取得最小值72
2、原式化为
2x+y-4xy/(2x+y)=m-6-4m/(m-6)
=m-6-4(m-6+6)/(m-6)=m-6-4-24/(m-6)
设m-6=t，则原式=t-4-24/t,求导可知，1+24/(t^2)是恒大于0；所以原函数单调递增，
故原式在t=12（m=18时）取得最小值。此时，x=3，y=6，原式=6，即最小值为6

Answer 2

x>0，y>0，2x+y+6=xy
所以就有：y=(2x+6)/(x-1)(x>1)=2+8/(x-1)
于是就得到：
4x^2+y^2=4(x-1+1)^2+4(1+4/(x-1))^2
=4((x-1)^2+2(x-1)+8/(x-1)+16/(x-1)^2)+8
>=4(8+8)+8=64+8=72
等号当且仅当x=3，y=6取到