Question

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．
（1）BP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ//BC，
∴AP/AB=PD/AC，即(10-2t)/10=2t/8 解得：t=20/9
∴当t=20/9 s时，PQ//BC

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，
∴AP/AB=PD/BC 即(10-2t)/10=PD/6 解得PD=6-6t/5
∴S=1/2×AQ×PD=1/2 ×2t× (6-6t/5)=-6t²/5+6t=-6/5×(t-5/2)²+15/2
∴当t=5/2 s时，S有最大值 ，为15/2 cm²

（ 3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC/2 ，
∵S△ABC=1/2（AC×BC）=24
∴S△AQP=12.
∵S△AQP=-6t²/5+6t
∴-6t²/5+6t=12
t²-5t+10=0
∴△=(-5)²-4×1×10=-15＜0
∴次方程误解 = =
∴不存在T ，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴AP/AB=PD/BC=AD/AC,
即(10-2t)/10=PD/6=AD/8,
解得：PD=6-6t/5，AD=8-8t/5
∴QD=AD-AQ=8-8t/5-2t=8-18t/5
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即(8-18t/5)²+(6-6t/5)²=(2t)²
得：13t²-90t+125=0
解得：t1=5，t2=25/13
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=25/13
∵S△AQP=-6t²/5+6t
∴S◇AQPQ=2s△AQP=2×(-6t²/5+6t)=2×{-6/5×(25/13)²+6×(25/13)}=2400/169 cm²
所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为2400/169 cm²

Answer 2

第一道答案我算出来也是20/9
第二道是这样:既然是求最大面积,那二元一次的抛物线,而且开口是朝下的,
利用这个公示标识三角形 SMIN=1/2sin<CAB*AQ*(AB*-BP)
Smin=1/2*3/5*2t*(10-2t)=3/5t(10-2t)=6t-6/5t2=-1.2t2+6t
现在就是求最大值, 对称轴上的T对应的S是最大的, t=-b/2a 也就是t=6/2.4=2.5
当T=2.5时 S是最大的...带入公式 S=7.5
不知道对不对,我大学毕业8年了,都忘光光了. 有个T=-b/2a 这个公式重要, 要不都不知道怎么求最大值了.
不过我用是微积分还是导数 也算出来了 T=2.5

第三道 不会出现那样的情况, -1.2t2+6t=12 你们看这个是否成立呢

Answer 3

（1）设t=x 因为PQ//BC 所以三角形ABC相似于三角形APQ（角角)
(10-2x)/10=2x/8 x=9/20 都要写成分式
只会第一题 不好意思哦

Answer 4

建立以c点为原点的直角坐标系 可以很轻松的解决问题

Answer 5

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/d12a0fc4-b697-4638-a3c0-be97d456e7f7?a=1