设a，b∈R，求证：a²+b²+ab+1>a+b
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解法一：要证上式，只需证：
2(a2+b2+ab+1)＞2(a+b)
移项得（a+b)2+(a-1)2+(b-1)2>0在a∈R,b∈R时恒成立.
解法二：要证上式，只需证：
a2+(b-1)a+b2-b+1＞0
∵△＝(b-1)2-4(b2-b+1)=-3b2+2b-3
∵△'=4-36=-32<0 ∴△＜0在b∈R时恒成立．
∴a2+(b-1)a+b2-b+1＞0在a∈R,b∈R时恒成立．故得证．
2(a2+b2+ab+1)＞2(a+b)
移项得（a+b)2+(a-1)2+(b-1)2>0在a∈R,b∈R时恒成立.
解法二：要证上式，只需证：
a2+(b-1)a+b2-b+1＞0
∵△＝(b-1)2-4(b2-b+1)=-3b2+2b-3
∵△'=4-36=-32<0 ∴△＜0在b∈R时恒成立．
∴a2+(b-1)a+b2-b+1＞0在a∈R,b∈R时恒成立．故得证．
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2(a²+b²+ab-a-b+1)
=a²+2ab+b² + a²-2a+1 + b²-2b+1
=(a+b)² + (a-1)² + (b-1)²
>=0
但3个不能同时等于0
所以a²+b²+ab+1>a+b
=a²+2ab+b² + a²-2a+1 + b²-2b+1
=(a+b)² + (a-1)² + (b-1)²
>=0
但3个不能同时等于0
所以a²+b²+ab+1>a+b
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2（a²+b²+ab+1）-2（a+b）
=2a²+2b²+2ab+2-2(a+b)
=(a+b)²+a²+b²+2-2(a+b)
=(a+b-1)²+a²+b²+1
∵(a+b-1)²≥0，a²≥0，b²≥0
∴(a+b-1)²+a²+b²+1≥1
即2a²+2b²+2ab+2-2(a+b)≥1
所以2（a²+b²+ab+1）＞2（a+b）
即a²+b²+ab+1>a+b
=2a²+2b²+2ab+2-2(a+b)
=(a+b)²+a²+b²+2-2(a+b)
=(a+b-1)²+a²+b²+1
∵(a+b-1)²≥0，a²≥0，b²≥0
∴(a+b-1)²+a²+b²+1≥1
即2a²+2b²+2ab+2-2(a+b)≥1
所以2（a²+b²+ab+1）＞2（a+b）
即a²+b²+ab+1>a+b
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