Question

）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由

Answer 1

分析：（1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；
（2）如解答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值；
（3）要点是利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分；
（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算．

解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．
（1）BP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ//BC，
∴AP/AB=PD/AC，即(10-2t)/10=2t/8 解得：t=20/9
∴当t=20/9 s时，PQ//BC

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，
∴AP/AB=PD/BC 即(10-2t)/10=PD/6 解得PD=6-6t/5
∴S=1/2×AQ×PD=1/2 ×2t× (6-6t/5)=-6t²/5+6t=-6/5×(t-5/2)²+15/2
∴当t=5/2 s时，S有最大值 ，为15/2 cm²

（ 3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S△AQP=S△ABC/2 ，
∵S△ABC=1/2（AC×BC）=24
∴S△AQP=12.
∵S△AQP=-6t²/5+6t
∴-6t²/5+6t=12
t²-5t+10=0
∴△=(-5)²-4×1×10=-15＜0
∴次方程误解 = =
∴不存在T ，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴AP/AB=PD/BC=AD/AC,
即(10-2t)/10=PD/6=AD/8,
解得：PD=6-6t/5，AD=8-8t/5
∴QD=AD-AQ=8-8t/5-2t=8-18t/5
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即(8-18t/5)²+(6-6t/5)²=(2t)²
得：13t²-90t+125=0
解得：t1=5，t2=25/13
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=25/13
∵S△AQP=-6t²/5+6t
∴S◇AQPQ=2s△AQP=2×(-6t²/5+6t)=2×{-6/5×(25/13)²+6×(25/13)}=2400/169 cm²
所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为2400/169 cm²

本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．

希望对你有帮助。。。。。。

Answer 2

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