)如图1,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动,
如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列...
如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC.
(2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由 展开
(1)当t为何值时,PQ∥BC.
(2)设△AQP面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,把△AQP沿AP翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t,使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由 展开
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解:∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角.
(1)BP=2t,则AP=10-2t.
∵PQ∥BC,∴APAB=
AQAC,即10-2t10=
2t8,解得t=209,
∴当t=209s时,PQ∥BC.
(2)如答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D.
∴PD∥BC,∴APAB=
PDBC,即10-2t10=
PD6,解得PD=6-65t.
S=12×AQ×PD=12×2t×(6-65t)=-65t2+6t=-65(t-52)2+152,
∴当t=52s时,S取得最大值,最大值为152cm2.
(3)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,
则有S△AQP=12S△ABC,而S△ABC=12AC•BC=24,∴此时S△AQP=12.
由(2)可知,S△AQP=-65t2+6t,
∴-65t2+6t=12,化简得:t2-5t+10=0,
∵△=(-5)2-4×1×10=-15<0,此方程无解,
∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分.
(4)假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t.
如答图2所示,过P点作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,
∴APAB=
PDBC=
ADAC,即10-2t10=
PD6=
AD8,
解得:PD=6-65t,AD=8-85t,
∴QD=AD-AQ=8-85t-2t=8-185t.
在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,
即(8-185t)2+(6-65t)2=(2t)2,
化简得:13t2-90t+125=0,
解得:t1=5,t2=2513,
∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=2513.
由(2)可知,S△AQP=-65t2+6t
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×(-65t2+6t)=2×[-65×(2513)2+6×2513]=2400169(cm2).
所以存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为2400169cm2.
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形,∠C为直角.
(1)BP=2t,则AP=10-2t.
∵PQ∥BC,∴APAB=
AQAC,即10-2t10=
2t8,解得t=209,
∴当t=209s时,PQ∥BC.
(2)如答图1所示,过P点作PD⊥AC于点D.
∴PD∥BC,∴APAB=
PDBC,即10-2t10=
PD6,解得PD=6-65t.
S=12×AQ×PD=12×2t×(6-65t)=-65t2+6t=-65(t-52)2+152,
∴当t=52s时,S取得最大值,最大值为152cm2.
(3)假设存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分,
则有S△AQP=12S△ABC,而S△ABC=12AC•BC=24,∴此时S△AQP=12.
由(2)可知,S△AQP=-65t2+6t,
∴-65t2+6t=12,化简得:t2-5t+10=0,
∵△=(-5)2-4×1×10=-15<0,此方程无解,
∴不存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分.
(4)假设存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t.
如答图2所示,过P点作PD⊥AC于点D,则有PD∥BC,
∴APAB=
PDBC=
ADAC,即10-2t10=
PD6=
AD8,
解得:PD=6-65t,AD=8-85t,
∴QD=AD-AQ=8-85t-2t=8-185t.
在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,
即(8-185t)2+(6-65t)2=(2t)2,
化简得:13t2-90t+125=0,
解得:t1=5,t2=2513,
∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=2513.
由(2)可知,S△AQP=-65t2+6t
∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×(-65t2+6t)=2×[-65×(2513)2+6×2513]=2400169(cm2).
所以存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为2400169cm2.
参考资料: http://wenku.baidu.com/view/2a09bff3f61fb7360b4c65d0.html
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1、 ﹙10-2t﹚/10=2t/8 t=40/13
2、 A固定 面积=﹙1/2﹚×AP×AQ×cosA AP=AQ时最大
10-2t=2t t=5/2
3、 ﹙10-2t﹚﹙2t﹚=10×8÷2=40 △<0 方程无解
不存在t
4、 此时AQ=PQ 自己算 我计算着烦
2、 A固定 面积=﹙1/2﹚×AP×AQ×cosA AP=AQ时最大
10-2t=2t t=5/2
3、 ﹙10-2t﹚﹙2t﹚=10×8÷2=40 △<0 方程无解
不存在t
4、 此时AQ=PQ 自己算 我计算着烦
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