Question

为什么有极限的函数不一定单调有界

Answer 1

“单调有界数列必有极限”是微积分学的基本定理之一.数列的极限比较简单,都是指当n→∞（实际上是n→+∞）时的极限,所以我们只要说求某某数列的极限（不必说n是怎么变化的）,大家都明白的.
函数的极限就比较复杂,如果只说求某某函数的极限,别人是不明白的,还必须要指明自变量（例如x）是如何变化的.
考虑自变量的变化趋势,有x→x0（x0是某个实数,这有多少种?）与x→∞；细分的话,还有x从左边趋向于x0、从右边趋向于x0、趋向于正无穷大、趋向于负无穷大.
还不要忘记,我们研究函数的极限是有前提条件的：
研究x→x0时的极限,要求函数在x0某个去心邻域内有定义；研究x→∞时的极限,要求存在正数X,当|x|>X时函数有定义.
只有在满足前提条件下,才可以谈这个函数此时的极限存在与不存在.
你只给出函数单调有界,既不知道函数的定义域是怎样的,又不知道自变量如何变化,这样情形下谈函数的极限根本就没有丝毫的意义.

Answer 2

定理1：若数列{xn}极限存在，则{xn}有界
定理2: 单调有界数列必有极限

那么从此看出，极限存在只能推出有界并不能推出其单调性