Question

定积分证明题，求详细证明过程🙏

定积分证明题，求详细证明过程🙏题目在图片里面～

Answer 1

令 F(x) = ∫(a->a+L)f(x)dx - ∫(0->L)f(x)dx
= [∫(a->L)f(x)dx + ∫(L->a+L)f(x)dx] - [ ∫(0->a)f(x)dx +∫(a->L)f(x)dx ]
= ∫(T->a+L)f(x)dx - ∫(0->a)f(x)dx
= ∫(0->a)f(y+L)dy [令y=x-L ] - ∫(0->a)f(x)dx
= ∫(0->a)f(x+L)dx [仅替换变量字母不改变原式 ] - ∫(0->a)f(x)dx
= ∫(0->a)[f(x+L) - f(x)] dx
因为 函数f(x)是以L为周期的连续函数，所以 f(x+L) = f(x)，所以f(x+L) - f(x)=0
所以 ∫(0->a)[f(x+L) - f(x)] dx =0，也即 F(x) = ∫(a->a+L)f(x)dx - ∫(0->L)f(x)dx = 0
由此得证 ∫(a->a+L)f(x)dx = ∫(0->L)f(x)dx